极限的概念 人教选修1-1

极限的概念 人教选修1-1

   

教学目的：理解数列和函数极限的概念；

教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；

教学难点：数列和函数极限的理解

教学过程：

一、实例引入：

例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。无限趋近于常数A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点到A的距离可以任意小。

二、新课讲授

1、数列极限的定义：

一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，记作

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注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A

②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________

③思考：是否所有的无穷数列都有极限？

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，，，…，，… ；（2）

www.ff70.com ，，，…，，…；

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；

（5）－1,1，－1，…，，…； 

注：几个重要极限：

  （1）          （2）（C是常数）

  （3）无穷等比数列（）的极限是0，即 ：

2、当时函数的极限

  （1） 画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数

的极限是0，记作：

一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数

的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：

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也可以记作，当时，

（2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作：

一般地，当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：

也可以记作，当时，

（3）从上面的讨论可以知道，当自变量

www.ff70.com 的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作

一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：

也可以记作，当时，

特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即

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例2：判断下列函数的极限：

 （1）                         （2）

 （3）                           （4）

三、课堂小结

   1、数列的极限

   2、当时函数的极限

四、练习与作业

1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限

  （1）1，，，…，，… ；（2）7，7，7，…，7，…；

  （3）；   

  （4）2，4，6，8，…，2n，…；

  （5）0.1，0.01，0.001，…，，…；

  （6）0，…，，…；

  （7）…，，…；

  （8）…，，…；

  （9）－2,　0，－2，…，

www.ff70.com ,…，

2、判断下列函数的极限：

  （1）                         （2）

  （3）                          （4）

  （5）                        （6）

  （7）                         （8）

补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；

（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，

能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？

若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。

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