导数的概念 人教选修1-1

导数的概念 人教选修1-1

   

教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数

教学难点：导数的概念

教学过程：

一、导入新课：

上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：

1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。

3.是函数对自变量

www.ff70.com 在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。

4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。

5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。

6.在定义式中，设，则，当

www.ff70.com 趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。

7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。

8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。

一般地，，其中

www.ff70.com 为常数。

特别地，。

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即

＝＝

函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数

www.ff70.com 在处的导数也记作。

注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝

4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：

（1）.求函数的改变量。

（2）.求平均变化率。

（3）.取极限，得导数＝。

例1.求

www.ff70.com 在＝－3处的导数。

例2.已知函数

（1）求。

（2）求函数在＝2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。

练习与作业：

1.求下列函数的导数：

（1）；　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

(3)                                  (3)

2.求函数在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：

（1）；　　　　　　　　　　　　　　　（2）；

（3）　　　　　　　　　　　　　　（4）.

4.求下列函数的导数：

（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）；

（3）　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）。

5.求函数在－2,0，2处的导数。

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