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双曲线中的面积问题

发奋学习网| http://www.ff70.com |九年级数学教学设计|人气:442次| 05-25
双曲线中的面积问题 学习反比例函数时,我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。要解决好这些问题,应注意以下几个方面的基础知识: 设反比例函数式为y=。 ⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段,由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。(如图1,以第一象限的图象为例)                   由四边形PMON为矩形。设P点坐标为(m,n),P在y=图象上,则有mn=k。∵OM=,ON= ∴S四边形OMPN=OM·ON=·== ⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段,并连接这一点与原点的线段,由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。(如图2,仍以第一象限的图象为例)                  由图象可知,SPOM=SPON= S四边形OMPN=。 ⑶理解点的坐标的几何意义:点P的坐标为(m,n),则表示P到y轴的距离;表示P到x轴的距离。 ⑷用好双曲线的对称性:双曲线关于原点O对称,因此双曲线y=与过原点O的正比例函数y=k2x的交点关于原点O对称。 ⑸会利用反比例函数关系式y=设双曲线上点的坐标。如点P在双曲线y=的图象上,设P点的横坐标为m,则P点的坐标可表示为(m,


www.ff70.com ⑹会用割补法求面积。尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形(如矩形、梯形、直角三角形等)。   一、用好双曲线的对称性   1 若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B。则△ABC的面积为(   )。                  A。1     B。2      C。3       D。4 :由A在双曲线y=上,AB⊥x轴于B。 ∴SABO=×1= 又由A、B关于O对称,SCBO= SABO=  ∴SABC= SCBO+SABO=1    故选(A)   二、正确理解点的坐标的几何意义   2 如图,反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点,交x轴于点M,交y轴于点N,则SAOB=         。                    :由y=-x+2交x轴于点M,交y轴于点N M点坐标为(2,0),N点坐标为(0,2) ∴OM=2,ON=2 由   解得 ∴A点坐标为(-2,4),B点坐标为(4,-2) SAOB=SAON+SMON+SBOM      =ON·+OM·ON+OM·=6


www.ff70.com (或SAOB=SAOM+SBOM=OM·+OM·=6)     三、注意分类讨论   3 如图,正方形OABC的面积为9,点O是坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数y=(k>0,x>0)的图象上。点P(m、n)是函数函数y=上任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线。垂足分别为E、F,并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S。 ⑴求点B的坐标和k值。 ⑵当S=时,求P点的坐标。 :⑴设B点坐标为(x0,y0),B在函数y=(k>0,x>0)的图象上,∴S正方形OABC= x0y0=9,∴x0=y0=3 即点B坐标为(3,3),k= x0y0=9 ⑵①当P在B点的下方(m>3)时。 设AB与PF交于点H,∵点P(m、n)是函数函数y=上, ∴S四边形CEPF=mn=9,S矩形OAHF=3n ∴S=9-3n=,解得n=。当n=时,=,即m=6 ∴P点的坐标为(6,) ②当P在B点的上方(m<3)时。 同理可解得:P1点的坐标为(,6)


www.ff70.com ∴当S=时,P点的坐标为(6,)或(,6)。   四、善用“割补法”   4 如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B(3,m)两点。                    ⑴求一次函数解析式;⑵求△AOB的面积。 :⑴由A(1,4),在y=的图象上,∴k2=xy=4 B(3,m)在y=的图象上,∴B点坐标为(3,) A(1,4)、B(3,)在一次函数y=k1x+b的图象上, 可求得一次函数解析式为:y=-x+。 ⑵设一次函数y=-x+交x轴于M,交y轴于N(如图)。则M(4,0),N(0,) S△AOB=S△MON-S△OBM-S△AON=OM·ON—OMON


www.ff70.com        =×4××4×××1=   五、构造特殊辅助图形   5 如图,已知直线y=x与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,且点A横坐标为4。⑴求k的值;⑵若双曲线y=(k>0)上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积。⑶过原点O的另一条直线交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点ABPQ为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标。                     :⑴A横坐标为4,在直线y=x上,A点坐标为(4,2) A(4,2)又在y=上,∴k=4×2=8 ⑵C的纵坐标为8,在双曲线y=上,C点坐标为(1,8) 过A、C分别作x轴、y轴垂线,垂足为M、N,且相交于D,则得矩形ONDM。S矩形ONDM=4×8=32。 又SONC=4,SCDA=9,SOAM=4 ∴SAOC= S矩形ONDM―SONC―SCDA―SOAM=32―4―9―4=15 ⑶由反比例函数图象是中心对称图形,OP=OQ,OA=OB, ∴四边形APBQ是平行四边形。SPOA=S四边形APBQ=6


www.ff70.com 设P点的坐标为(m,),过P、A分别作x轴、y轴垂线,垂足为E、M。 ∴SPOE=SAOM=k=4 ①若0<m<4时,如图所示。 ∵SPEO+S梯形PEMA=SPOA+SAOM,∴S梯形PEMA=SPOA=6 ∴(2+)(4-m)=6   解得m=2或m=-8(舍去)  P点的坐标为(2,4) ②若m>4时,同理可求得m=8或m=-2(舍去),P点的坐标为(8,1)



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